Arvoteooria

Arvoteooria om matõmaatiga haro, miä uur arvõ (innekõkkõ tervidearvõ) umahuisi. Matõmaatikit, kiä tegeleseq arvoteooriaga, kutsutas arvoteoreetikis. Tuu perrä, määntsit meetodit tarvitõdas vai määntsile küsümüisile vastussit otsitas, või arvoteooria jakaq mitmõs haros.

Aolugu

Varajanõ arvoteooria

Kõgõ vanõmb arvoteooria

Plimpton 322 savitahvli

Kõgõ vanõmb tekst, midä või pitäq arvoteoreetilidsõs, om üts tabõli tükükene: tuu om Mesopotaamia-aignõ (umbõs aastagast 1800 i.m.a.) savitahvli, midä kutsutas Plimpton 322-s ja miä sisaldas Pythagorasõ kolmikit, tuu tähendäs arvokolmikit $\scriptstyle (a,b,c)$, mink kõrral $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Noid kolmikit om tahvli pääl pall'o pall'o ja arvoq ommaq pall'o suurõq tuu jaos, et näid "tuurõ jouga" löüdäq. Nii et arvatas, et tabõli konstruiirmises om tarvitõt määnestki teoreetilist tulõmust. Olõ-iq teedäq, miä oll' tuu tabõli otstarvõq. Võimalik, et tuud tarvitõdiq koolin oppamisõ jaos.

Kuigi Babüloonia arvoteooria kotsilõ olõ-iq rohkõmb teedäq, ku s'ooo savitahvlikõnõ, om sõski teedäq, et Babüloonia algõbra (keskkooli-algõbra tähendüsen) oll' väega häste arõnõnuq. Neoplatooniliidsin lättin om kirän, et Pythagoras oppõ matõmaatikat babüloonlaisi käest. Arvatas, et $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ irratsionaalsusõ löüdseväq pütagoorlasõq. Arvatas, et Hippasos, kiä pütagoorlaisi hulgast vällä visati vai esiq läts', võisõ ollaq tuu tõõstaja. Tuu tõõstusõga tekkü matõmaatika alostõn edimäne kriis. Tuust aost pääle või kõnõldaq tiidlikust vaihõtegemisest arvõ (tervide arvõ ja jagoarvõ) nink pikkuisi (vastasõq reaalarvõlõ) vaihõl. Viil kõnõldiq pütagoorlikun tradits'oonin pall'o hulknukkarvõst (nt. kolmnukkarvoq, kruutarvoq, viisnukkarvoq jne.).

Ei Vana-Egüptüse egaq Vana-India tekstest olõq teedäq puhtalt arvoteoreetilist matõrjaali, kuigi mõlõmbin om algõbrat. Hiina jäägiteorem om kirän ku märk (ülesannõq) hiina matõmaatiku Sun Tzu teossõn Suan Ching, miä om perit kas 3., 4. vai 5. aastagasaast.

Vana-Kreeka arvoteooria

Vana-Kreeka 4.-5. aastagasaa (i.m.a.) matõmaatikast tiiämiq päämädselt teno toonatsilõ mitte-matõmaatikilõ ja illatsõmbilõ matõmaatikilõ. Arvoteooria puhul tähendäs tuu päämädselt Platonit ja Eukleidest, vastavalt. Platon oll' väega huvitõt matõmaatikast ja tä tekk' selget vaiht arvoteoorial ja rehkendämisel. Üten Platoni dialoogõst (nimelt dialoogin Theaetetosõga) om kirän, et Theodoros ollõv tõõstanuq, et $\scriptstyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ ommaq irratsionaalsõq. Theaetetus, niguq Platongi, oll' Theodorusõ opilanõ. Tä uurõ mitmõsugutsit ütismõõdolda olõki tüüpe ja nii või tedä pitäq ütes arvosüstemide uurjas. Papposõ perrä põhinõs Eukleidese "Elemente" X raamat suurõn jaon Theaetetosõ tüül.

Eukleides pühend' uma "Elemente" raamaduq VII-IX algarvõlõ ja jagonõmisõlõ - nuuq teemaq ommaq arvoteooria üteq alostalaq. Muuhulgan and' tä algoritmi katõ arvo kõgõ suurõmba ütidse jagaja löüdmises (nn. Eukleidese algoritmi) ja edimädse teedäqolõva tõõstusõ tollõ, et algarvõ om lõpmalda pall'o.

Diophantos

Diophantosõ "Aritmeetika" 1621. a. vällä annõt ladinakeelitse tõlkõ tiitlileht

Diophantosõst om väega veidüq teedäq. Tä elli ja tüüt' Aleksandrian. Arvatas, et tä elli 3. aastagasaal m.a.p., umbõs 500 aastakka pääle Eukleidest. Timä teossõ "Aritmeetika" 13 raamatust om alalõ 6 tükkü kreeka keelen ja viil 4 tükkü araabiakeelitsen tõlkõn. "Aritmeerikan" ommaq lahenduisiga märgoq, kon om vaja löüdäq polünomiaalsidõ võrrandidõ süstemi ratsionaalsõq lahendiq. Nuuq võrrandiq ommaq hariligult kujol $\scriptstyle f(x,y)=z^{2}$ vai $\scriptstyle f(x,y,z)=w^{2}$. Polünomiaalsit võrrandit, minkalõ otsitas lahendit tervide arvõ vai ratsionaalarvõ hulgast, om naat kutsma diofantiliidsis võrrandis. Lahendaminõ tähend' Diophantosõlõ tüüpilidselt protseduuri andmist, minka abiga saa löüdäq kõik ratsionaalsõq lahendiq, eski kui näid om lõpmalda pall'o.

Kuigi Diophantost huvitasõq päämädselt ratsionaalsõq lahendiq, tarvitas tä tulõmuisi, miä käüväq tervide arvõ kotsilõ. Muuhulgan paistus, et tä arvas, et ega terveharv om nelä kruudu summa, kuigi tä õkvalt niimuudu kongi ei ütleq.

India arvoteooria: Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Kuigi Kreeka tähetiidüs - teno Aleksandri Suurõ vallutuisilõ - mõot' India matõmaatikat niipall'o, et luudi trigonomeetriä, paistus et mud'o arõnõsi India matõmaatiga sõltumatult. Muuhulgan Eukleidese "Elemendiq" võisõvaq joudaq Indiahe viil 18. aastgasaal.

Āryabhaṭa (476-550) näüdäs, et kongruentse süsteemi $\scriptstyle n\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}$, $\scriptstyle n\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}$ saa ärq lahendada meetodiga, miä om Eukleidese algoritmi muudu. Võimalik, et Āryabhaṭa tulõmuisi tarvitõdiq tähetiidüsliidsi rehkendüisi man.

Brahmagupta (598–668) naas' süstemaatilidsõlt uurma tõsõ astmõ diofantiliidsi võrrandit, muuhulgan võrrandit, midä tundas Pelli võrrandi nime all ja midä Õuruupan es uuritaq inne Fermat'd ja Eulerit. Tuud tüüd jakassiq illatsõmbaq sanskritikeelidseq autoriq. Ületse Pelli võrrandi lahendamisõ meetodi löüd' edimädsenä Jayadeva, kink tüü om külh kaotsihe lännüq, a tuud tüüd om tsiteerit 11. aastgasaal. Kõgõ vanõmb alalõ hoitunu tekst lahendusmeetodiga om Bhāskara uma 12. aastagasaast.

Kah'os Õuruupan es teedäq India matõmaatikast suurt midägi inne 18. aastagasaa lõppo. Brahmagupta ja Bhāskara tüüq pand' inglüse kiilde ümbre Colebrooke 1817. a.

Islami kuldao arvoteooria

Heveliusõ raamadu "Selenographia" (Gdansk, 1647) edekaas. Kura poolõ pääl sais Ibn al-Haytham, hää poolõ pääl Galilei Galileo

9. aastagasaa alostusõn käsk' Bagdadi kaliif Al-Mamuun (al-Māʾmūn) tõlki pall'oq kreekakeelidseq matõmaatigateossõq ja vähämbält üte sanskritikeelidse teossõ (võimalik, et Brahmagupta uma) araabia kiilde. Tuuga pand' tä alossõ rikkalõ islamimaiõ matõmaatikatradits'oonilõ. Diophantosõ "Aritmeetika" pand' ümbre Qusta ibn Luqa (820-912). Üts osa al-Karajī (953 - u. 1029) teossõst "Al-Fakhri" põhinõs tollõl. Al-Karajīga samal aol elänü matõmaatikulõ Ibn al-Haythamilõ võisõ teedäq ollaq teorem, midä ildampa om naat kutsma Wilsoni teoremis.

Ku vällä arvata Fibonacci (kiä elli ja oppõ ka Põh'a-Afrikan ja Konstatinoopolin) tulõmus kruutõ kotsilõ aritmeetilidsõn jadan, sõs keskaigsõn Õuruupan arvoteooriat es tetäq. As'aq naksiq muutuma illatsõl renessansiaol, teno tollõ, et naati jälq uurma Vana-Kreeka matõmaatikidõ töid. Tuud mõot' pall'o Diophantosõ "Aritmeetika" tõlkminõ ladina kiilde Bachet puult 1621. aastagal (edimädse tõlkmiskatsõ tekk' Xylander 1575. aastagal).

S'ooilma-aigsõ arvoteooria tekkümine

Fermat

Fermat' Pierre

Fermat' Pierre (1601-1665) es avaldaq ilmangi ummi töid trükün. Timä tulõmusõq arvoteooria alalt ommaq teedäq õnnõ kirävaihtusõst tõisi matõmaatikidõga ja märkmist, midä tä tekk' raamadulehekülgi servi pääle. Tä panõ-õs kirja pia üttegi arvoteoreetilist tõõstust. Tä tarvit' matõmaatilist indukts'uuni ja lõpmalda laskumisõ meetodit.

Üteq edimädseq as'aq, miä Fermat'd huvitiq, olliq tävvelidseq arvoq (noist oll' juttu joba Eukleidese "Elemente" IX raamatun) ja sõbralikuq arvoq. Tuu mant joud' tä tervide arvõ jagonõmisõ uurmisõ mano, ja tuust oll' juttu ka timä kirävaihtusõn tuu ao matõmaatikidõga alatõn 1636. aastagast. Tä uurõ hoolõga Bachet tõlgit Diophantosõ "Aritmeetikat". 1643. aastagas olliq tedä huvitama naanuq diofantilidsõq probleemiq ja kruutõ summaq (midä Diophantos oll' kah joba kaenuq).

Fermat' tähtsämbäq tulõmusõq arvoteoorian olliq sääntseq.

• Fermat' väikene teorem (1640), miä ütles, et ku algarv p ei jagaq terveht arvo a, sõs $\scriptstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
• Kui a ja b kõgõ suurõmb ütine jagaja om 1, sõs $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$ ei jagonõq ütegi algarvoga, miä om kongruentne arvoga −1 mooduli 4 perrä. Ega algarvo, miä om kongruentne arvoga −1 mooduli 4 perrä saa kirjä pandaq kujol $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$. Naaq väiteq ommaq perit aastagast 1640; 1659. aastagal Fermat kirot' Huygensile, et om perämädse tulõmusõ laskumismeetodiga ärq tõõstanuq. Fermat'l ja Frenicle'il om töid (mõnõq noist vigatsüq vai mittetävvelidseq) tõisi kruutvormõ kotsilõ.
• Fermat saat' 1657. a. inglüse matõmaatikilõ välläkutsõ: lahendadaq ärq võrrand $\scriptstyle x^{2}-Ny^{2}=1$. Mõnõ kuu joosul lahendiq probleemi ärq Wallis ja Brouncker. Fermat lugi näide lahendusõ õigõs, a märke ärq, et nääq ommaq andnuq algoritmi ilma tõõstusõlda (samma olliq tennüq tegelikult joba Jayadeva ja Bhaskara, kuigi Fermat näide töiest midägi es tiiäq). Fermat kuulut', et tõõstusõ saa andaq laskumismeetodiga.
• Fermat arõnd' vällä meetodiq, mink abil sai (täämpädse päävä terminiden) löüdäq punktõ kõvõridõ pääl, mink liik om 0 vai 1.
• Fermat tõõst' uman kirävaihtusõn, et võrrandil $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{4}$ olõ-iq mittetriviaalsit lahendit tervidearvõ hulgan. Tä kirot' ummilõ kiräsõprolõ ka tuud, et võrrandil $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=z^{3}$ olõ-iq mittetriviaalsit lahendit ja et tuud saa tõõstadaq laskumismeetodiga. Eedimäne teedäqollõv tõõstus tollõ om Euleri uma (aastagast 1753; tõõpoolõst laskumismeetodiga). Fermat' hüpoteesi ("Fermat' suurt teoremmi"), et võrrandil $\scriptstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}$ olõ-iq ütegi tüküarvo $\scriptstyle n\geq 3$ kõrral mittetriviaalsit lahendit tervidearvõ hulgan, proomõq mitmõ aastagasaa joosul tõõstadaq pall'oq matõmaatikuq. Tuu tüü käügin tõõstõdiq pall'o tõisi tulõmuisi ja luudi vahtsit meetodit.

Euler

Euleri Leonhard

Euleri Leonhard (1707-1783) naas' arvoteooria vasta edimäst kõrda huvvi tundma aastagal 1729, ku timä sõbõr Goldbach soovit' täl kaiaq, midä Fermat tennüq om. Tuud om kutsut s'ooilma-aigsõ arvoteooria vahtsõstsündümises: Fermat'l lää-es lääq kuigi häste kõrda hindäaigsit matõmaatikit arvoteooria vasta huvvi tundma pandaq. Euler tekk' arvoteoorian muuhulgan sääntsit asjo.

• Fermat' väitide tõõstusõq. Muuhulgan Fermat' väikene teorem, minka Euler tõõst' ületsembäl juhul (kon moodul om suvalinõ tüküarv); fakt, et $\scriptstyle p=x^{2}+y^{2}$ sõs ja õnnõ sõs, ku $\scriptstyle p\equiv 1\;mod\;4$; edimädseq sammoq tollõn suunan, et näüdätä, et ega tüküarv om nelä kruudu summa (tävvelidse tõõstusõ and' edimädsenä Lagrange 1770. a., pia pääle tuud and' Euler esiq parõmba tõõstusõ); fakt, et võrrandil $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{2}$ olõ-iq mittetriviaalsit lahendit tervidearvõ hulgan (tuust tulõ vällä Fermat' suur teoreem n=4 kõrral, juhu n=3 jaos and' Euler kah tõõstusõ).
• Pelli võrrand. Tuu nime and' võrrandilõ edimädsenä Euler, kuigi Pell olõ-s edimäne, kiä tuud võrrandit uurõ. Euler näüdäs, kuis ahhiljaoq ommaq köüdedüq Pelli võrrandiga.
• Edimädseq sammuq analüütilidse arvoteooria suunan. Ummin töien nelä kruudu summadõ, tüküarvõ tükeldüisi, viisnukkarvõ ja algarvõ jaotusõ kotsilõ tarvit' tä sääntsit meetodit, midä või kaiaq ku matõmaatilidsõ analüüsi (muuhulgan rito) rakõndamist arvoteoorian. Kuna tä elli inne kompleksanalüüsi vällätüütämist, oll' timä tüü piirat astmõritoga formaalsõ manipuliirmisega. Timä töien oll' asjo, midä või kaiaq ku edimädsi sammõ Riemanni funkts'ooni suunan.
• Kruutvormiq. Fermat' iinkujo perrä uurõ Euler edesi, määntsit algarvõ saa andaq kujol $\scriptstyle x^{2}+Ny^{2}$.
• Diofantilidsõq võrrandiq. Euler tüüt mõndsi diofantiliidsi võrrandidõ kallal, mink liik om 0 vai 1. Muuhulgan uurõ tä Diophantosõ tüüd ja püüd' tuud süstematisiiri. Tä pand' tähele, et om olõman köüdüs diofantiliidsi võrrandidõ ja elliptiliidsi integraalõ vaihõl. Noidõ perämäidsi uurmist oll' alostanuq timä esiq.

Lagrange, Legendre ja Gauss

Gaussi raamadu "Disquisitiones Arithmeticae" edimäne trükk

Lagrange (1736–1813) oll' edimäne, kiä and' tävvelidseq tõõstusõq mõnõlõ Fermat ja Euleri tulõmusõlõ, näütüses nelä kruudu teoremile ja Pelli võrrandi lahendamisõ algoritmilõ. Tä uurõ ka kruutvormõ üldkujol (mitte õnnõ kujol $\scriptstyle mX^{2}+nY^{2}$): tõi sisse näide ekvivalentsusõ mõistõ, näüdäs, kuis näid kanoonilisõlõ kujolõ viiäq jne.

Legendre (1752–1833) oll' edimäne, kiä sõnast' kruutvastavusõ säädüse. Tä sõnast' ka hüpoteesiq, midä tundas täämbädsel pääväl ku algarvoteoremmi ja Diriclet' teoremmi aritmeetiliidsi jadadõ kotsilõ. Tä and' võrrandi $\scriptstyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ tävvelidse lahendamisõ meetodi ja uurõ kruutvormõ. Vanan iän tõõst' tä edimädsenä ärq Fermat' suurõ teoremi $n=5$ kõrral (viien lõpolõ Dirichlet' tüü tuu probleemi kallal).

Raamatun "Disquisitiones Arithmeticae" (1798), tõõst' Gauss (1777–1855) ärq kruutvastavussäädüse ja arõnd' vällä kruutvormõ teooria (muuhulgan tõi tä sisse kruutvormõ komposits'ooni). Tä võtt' tarvitusõlõ sümboolika kongruentse jaos ja pühend' üte osa rehkendüsprobleemele, muuhulgan tüküarvõ algarvolidsusõ kontrollmisõlõ. Raamadu perämädsen osan om ärq näüdät köüdüs ütejuuri ja arvoteooria vaihõl.

S'ooilma-aignõ arvoteooria

19. aastagasaa alostusõst pääle ommaq aopikku juhtunuq sääntseq as'aq.

• Om nõsõnu arvoteooria ku umaette matõmaatikaharo hindätiidmine.
• Ommaq arõnõnuq matõmaatikaharoq, miä ommaq ommaq hädätarvilidsõq s'ooilma-aigsõ arvoteooria jaos: kompleksanalüüs, rühmäteooria, Galois teooria. Tuuga om üten käünüq rangusõ suurõnõminõ analüüsin ja abstraktsusõ suurõnõminõ algõbran.
• Arvoteooria om jagonõnuq mitmõs haros, muuhulgan ommaq vällä kujonõnuq analüütiline ja algõbralinõ arvoteooria.

Haroq

Arvoteooria alostus

Arvoteooria alostusõn uuritas tervitarvõ ilma tõisi matõmaatiga harrõ teknikat tarvitamalda. Tahtõ kuulusõq näütüses tervidearvõ jagonõminõ, Eukleidese algoritm kõgõ suurõmba ütidse jagaja löüdmises, algarvoq, tävvelidseq arvoq ja kongruendsiq. Sjoo haro tähtsämbide vällälöüdüisi hulgan ommaq Fermat' väikene teorem, Euleri teorem, Hiina jäägiteorem, ja ruutvastavussäädüs. Viil uuritas arvoteooria alostusõn Möbiusõ säädängu, Euleri fii-säädängu, tervidearvõ rongõ, faktoriaalõ ja Fibonacci arvõ umahuisi.

Mitmõq arvoteooria küsümüseq või sõnastaq arvoteooria alostusõ terminiin, a näile vastamisõs või vaia minnäq tulõmuisi ja teknikat välästpuult arvoteooria alostust. Sääntseq ommaq näütüses:

• Goldbachi umbarvaminõ tuu kotsilõ, et paarinarvoq ommaq katõ algarvo kogoq.
• Catalani umbarvaminõ.
• Algarvokatsikidõ umbarvaminõ tuu kotsilõ, et algarvokatsikidõ paarõ om lõpmada pall'o.
• Collatzi umbarvaminõ.
• Fermat' suur teorem võrrandi $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ lahendidõ kotsilõ.

Analüütiline arvoteooria

Analüütilidsen arvoteoorian tarvitõdas tervidearvõ uur'misõs matõmaatilidsõ ja kompleksmuutuja analüüsi massinavärki. Tuu näütüses ommaq algarvoteorem ja Rieanni hüpotees. Niisamatõ om analüütiliidsi meetodidõga pääle mint Waringi probleemile, algarvokatsikidõ umbarvamisõlõ ja Goldbachi umbarvamisõlõ. Konstantõ $\pi$ ja e transtsendentsusõ tõõstusõq käüväq kah analüütilidse arvoteooria ala.

Algõbralinõ arvoteooria

Algõbralidsõn arvoteoorian üldistedäs arvo mõistõt algõbraliidsi arvõ pääle, miä ommaq murdarvoliidsi kõrdajidõga hulkliikmidõ juurõq. Sääntsin arvovallon ommaq eloniguq, miä ommaq tervidearvõ muudu ja midä kutsutas algõbraliidsis tervisarvõs. Umõhtõ ei pruugiq noidõ jaos tervidearvõ umahusõq (nt. ütene alglahotus) paika pitäq. Kuis tuust hädäst üle saiaq, uuritas sääntside teoorijidõ abil niguq Galois' teooria, rühmi kohomoloogia, klassikorpuisi teooria, rühmi esitüisi teooria ja L-säädängide teooria.

Mitmit arvoteooria küsümüisi om kõgõ parõmb uuriq nii, et kaiaq näid edimält mooduli p perrä ega algarvo p kõrral. Tuud kutsutas lokalisiirmises ja tuu veese p-aadiliidsi arvõ konstruiir'miseniq. Säänest uur'misharro kutsutas lokaalanalüüsis ja tuu kasus vällä algõbralidsõst arvoteooriast.

Geomeetriline arvoteooria

Geomeetriline arvoteooria (vai arvõ geomeetriä) uur' arvõ ja geomeetriä kokkoputmiskotussit. Tuu nakkas pääle Minkowski teoremigaq kumõra hulga võrõpunktõ kotsilõ.

Kombinatuurnõ arvoteooria

Kombinatuurnõ arvoteooria uur' arvoteooria küsümiisi, mink sõnastusõn vai lahendusõn tarvitõdas kombinatooriga ideid. Sjoo arvoteooria põh'andajas om Erdösi Paul. Tüüpilidseq teemäq ommaq kattõsüstemiq, egasugudsõq piiredüq kogohulgaq ja aritmeetilidseq jadaq tervidearvõ hulgan.

Algoritmilinõ arvoteooria

Algoritmilidsõn arvoteoorian uuritas arvõgaq köüdetüid algoritmõ. Kipõq algoritmiq tuu kontrollmisõs, kas arv om algarv ja kõrdlahotamisõs ommaq tähtsäq krüptograafia jaos.

Ütlemiisi

• Matõmaatiga om tiidüisi kuninganna ja arvoteooria om matõmaatiga kuninganna. —Gauss
• Jummal lõi terveq arvoq; kõik muu om inemise teela. —Kronecker